Készítette: Mária Martinkovičová
Egész számkészletet hozunk létre úgy, hogy az összes természetes szám halmazához hozzáadjuk a természetes számokkal szemben lévő összes ellentétes (inverz) szám halmazát, azaz számhalmaz és 0 szám, amely két azonos szám kivonásának műveletéből származik.
Az egész számok a halmazok elemeinek számát, a velük ellentétes számokat és a 0 számot fejezik ki.
Az egész számok halmazában korlátozás nélkül olvasható.
Az egész számok halmaza a természetes számok halmaza.
A szorzat összes tulajdonságát és a természetes számok összegét, még az ún a természetes számok halmazának természetes elrendezése, az egész számok halmazában változatlan maradt.
Egész számok összege
1. meghatározás: Legyen a - b, c - d két egész szám. Ekkor ennek a két egésznek az összege meghívja az (a + c) - (b + d) jelöléssel ábrázolt egész számot. Mi írunk
(a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d)
Legyen egész számunk 4 - 1, 6 - 2. Az 1 definíciója alapján például:
(4 - 1) + (6 - 2) = (4 + 6) - (1 + 2) = 10 - 3
Két egész összegének tulajdonságai:
1. mondat: Két egész összege kommutatív művelet, tehát ha a és b egész szám, akkor: a + b = b + a
Ez a mondat azt mondja nekünk, hogy két egész szám hozzáadásakor a kiegészítések sorrendje nem számít.
2. mondat: Az egész számok asszociatív művelet: ha a, b és c tetszőleges egész számok, akkor: (a + b) + c = a + (b + c) .
Így egész számok hozzáadásakor az összeadók tetszőlegesen kombinálhatók.
3. mondat: A 0 egész szám az "egészek hozzáadása" művelet semleges eleme, azaz ha a bármelyik egész szám, akkor a + 0 = 0 + a = a .
Ez a tétel azt mondja, hogy ha egész számok hozzáadásakor az egyik összeadó 0, akkor az összeg megegyezik a másik összeadóval.
4. mondat: Minden egész számra és van egy ún ellentétes egész szám - (-a), amelyre a következők vonatkoznak: a + (-a) = (-a) + a = 0 .
Vagyis az ellentétesen ellentétes számoknak megvan az a tulajdonsága, hogy ha összeadjuk őket, akkor a 0 számmal megegyező összeget kapunk. Pl. a 3-mal ellentétes szám -3.
5. mondat: Két pozitív egész szám pozitív egész szám.
Az 1–4. Tétel és az 5. tétel garantálja számunkra, hogy a természetes számok összeadásának tulajdonságai változatlanok maradnak, ha egész számként dolgozunk velük.
6. mondat: Két negatív szám összege negatív szám.
2. meghatározás: Legyen a és b két tetszőleges egész szám. Az a és b egészek különbsége ebben a sorrendben az a - b egész szám, amelyet a következőképpen határozunk meg: a - b = a + (- b) .
A -b jelölés alatt megértjük a b egész számmal ellentétes egész számot. Legyen a - bac - d két tetszőleges egész szám, ennek a meghatározásnak az alapján: (a - b) - (c - d) = (a - b) + (d - c) = (a + d) - (b + c).
Példa: Legyen két egész számunk: a = 6 - 3 és b = 3 - 2, akkor a különbség fennáll:
a - b = (6 - 3) - (3 - 2) = (6 - 3) + (2 - 3) = (6 + 2) - (3 + 3) = 8 - 6
Az egészek halmazában a Z korlátlanul levonható, azaz bármely két egész különbsége az egész szám.
Egész számok szorzata
3. meghatározás: Jelölje az a - b és a c - d két tetszőleges egész számot. Ezen egész számok szorzata az (a - b) egész szám. c) d) az alábbiak szerint definiálva: (c - d) = (ac + bd) - (ad + bc)